( bđt Schur) Với các số thực a,b, c không âm bất k“ ta luôn có :
Giải:
Không mất tính tổng quát ta giả sử c = min(a,b,c). Sử dụng khai triển :
Do đó bđt đã cho có thể được viết dưới dạng
Với nên bđt trên hiển nhiên đúng ta có điều phải CM
Đẳng thức xảy ra khi : hoặc các hoán vị
Ví dụ 2 ( mathlinks contests)
Chứng minh bđt sau với hệ số a,b,c dương
Giải:
Không mất tính tổng quát ta giả sử c= min (a,b,c);
Ta có khai triển :
( Cái này các bạn có thể dễ dàng phân tích được
Do đó bđt trên có thể viết lại dưới dạng:
Bđt trên hiển nhiên đúng
Đẳng thức xảy ra a=b=c
Lời giải hai ví dụ trên không phải là duy nhất và còn có nhiều cách chứng minh độc đáo hơn Nhưng nếu xem khách quan th“ nó hoàn toàn tự nhiên và cơ bản . Nói khái quat khi đứng trước một bđt bất k“ của 3 bến a,b,c ta sẽ t“m cách đưa chúng về dạng 'bán Schur- bán SOS" : ,
Sau đó với giả thiết ta sẽ CM được
Từ đó ta có điều cần CM
Sau đây là một số khai triển thường được sử dụng trong phân tích:
1.
2.
3.
4.
5.
6.